정규화(regularized) 선형 회귀 방법은 선형 회귀 계수(weight)에 대한 제약 조건을 추가함으로써 모형이 과도하게 최적화되는 현상, 즉 과최적화를 막는 방법이다. Regularized Method, Penalized Method, Contrained Least Squares 이라고도 불리운다.
모형이 과도하게 최적화되면 모형 계수의 크기도 과도하게 증가하는 경향이 나타난다. 따라서 정규화 방법에서 추가하는 제약 조건은 일반적으로 계수의 크기를 제한하는 방법이다. 일반적으로 다음과 같은 세가지 방법이 사용된다.
Ridge 회귀 모형에서는 가중치들의 제곱합(squared sum of weights)을 최소화하는 것을 추가적인 제약 조건으로 한다.
$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda \sum w_i^2 \end{eqnarray} $$$\lambda$는 기존의 잔차 제곱합과 추가적 제약 조건의 비중을 조절하기 위한 하이퍼 모수(hyper parameter)이다. $\lambda$가 크면 정규화 정도가 커지고 가중치의 값들이 작아진다. $\lambda$가 작아지면 정규화 정도가 작아지며 $\lambda$ 가 0이 되면 일반적인 선형 회귀 모형이 된다.
Elastic Net 회귀 모형은 가중치의 절대값의 합과 제곱합을 동시에 제약 조건으로 가지는 모형이다.
$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda_1 \sum | w_i | + \lambda_2 \sum w_i^2 \end{eqnarray} $$$\lambda_1$, $\lambda_2$ 두 개의 하이퍼 모수를 가진다.
statsmodels 패키지는 OLS 선형 회귀 모형 클래스의 fit_regularized 메서드를 사용하여 Elastic Net 모형 계수를 구할 수 있다.
하이퍼 모수는 다음과 같이 모수 $\text{alpha} $ 와 $\text{L1_wt}$ 로 정의된다.
$$ 0.5 \times \text{RSS}/N + \text{alpha} \times \big( 0.5 \times (1-\text{L1_wt})\sum w_i^2 + \text{L1_wt} \sum |w_i| \big) $$
In [1]:
np.random.seed(0)
n_samples = 30
X = np.sort(np.random.rand(n_samples))
y = np.cos(1.5 * np.pi * X) + np.random.randn(n_samples) * 0.1
dfX = pd.DataFrame(X, columns=["x"])
dfX = sm.add_constant(dfX)
dfy = pd.DataFrame(y, columns=["y"])
df = pd.concat([dfX, dfy], axis=1)
model = sm.OLS.from_formula("y ~ x + I(x**2) + I(x**3) + I(x**4) + I(x**5) + I(x**6) + I(x**7) + I(x**8) + I(x**9)", data=df)
result1 = model.fit()
result1.params
Out[1]:
In [2]:
def plot_statsmodels(result):
plt.scatter(X, y)
xx = np.linspace(0, 1, 1000)
dfxx = pd.DataFrame(xx, columns=["x"])
dfxx = sm.add_constant(dfxx)
plt.plot(xx, result.predict(dfxx).values)
plt.show()
plot_statsmodels(result1)
모수 L1_wt가 0 이면 순수 Ridge 모형이 된다.
In [3]:
result2 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=0)
print(result2.params)
plot_statsmodels(result2)
반대로 모수 L1_wt가 1 이면 순수 Lasso 모형이 된다.
In [4]:
result3 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=1)
print(result3.params)
plot_statsmodels(result3)
모수 L1_wt가 0과 1 사이이면 Elastic Net 모형이다.
In [5]:
result4 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=0.5)
print(result4.params)
plot_statsmodels(result4)
Scikit-Learn 패키지에서는 정규화 회귀 모형을 위한 Ridge, Lasso, ElasticNet 이라는 별도의 클래스를 제공한다. 각 모형에 대한 최적화 목적 함수는 다음과 같다.
In [6]:
def plot_sklearn(model):
plt.scatter(X, y)
xx = np.linspace(0, 1, 1000)
plt.plot(xx, model.predict(xx[:, np.newaxis]))
plt.show()
In [7]:
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge, Lasso, ElasticNet
poly = PolynomialFeatures(9)
model = make_pipeline(poly, LinearRegression()).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
In [8]:
model = make_pipeline(poly, Ridge(alpha=0.01)).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
In [9]:
model = make_pipeline(poly, Lasso(alpha=0.01)).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
In [10]:
model = make_pipeline(poly, ElasticNet(alpha=0.01, l1_ratio=0.5)).fit(X[:, np.newaxis], y)
print(model.steps[1][1].coef_)
plot_sklearn(model)
정규화 모형은 회귀 분석에 사용된 데이터가 달라져도 계수가 크게 달라지지 않도록 한다.
In [11]:
X_train = np.c_[.5, 1].T
y_train = [.5, 1]
X_test = np.c_[-1, 3].T
np.random.seed(0)
models = {"LinearRegression": LinearRegression(),
"Ridge": Ridge(alpha=0.1)}
for i, (name, model) in enumerate(models.iteritems()):
ax = plt.subplot(1, 2, i+1)
for _ in range(10):
this_X = .1 * np.random.normal(size=(2, 1)) + X_train
model.fit(this_X, y_train)
ax.plot(X_test, model.predict(X_test), color='.5')
ax.scatter(this_X, y_train, s=100, c='.5', marker='o', zorder=10)
model.fit(X_train, y_train)
ax.plot(X_test, model.predict(X_test), linewidth=3, color='blue', alpha=0.5)
ax.scatter(X_train, y_train, s=100, c='r', marker='D', zorder=10)
plt.title(name)
ax.set_xlim(-0.5, 2)
ax.set_ylim(0, 1.6)
Ridge 모형은 가중치 계수를 한꺼번에 축소시키는데 반해 Lasso 모형은 일부 가중치 계수가 먼저 0으로 수렴하는 특성이 있다.
In [12]:
from sklearn.datasets import load_diabetes
diabetes = load_diabetes()
X = diabetes.data
y = diabetes.target
In [13]:
ridge0 = Ridge(alpha=0).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([ridge0.intercept_, ridge0.coef_]))
ridge1 = Ridge(alpha=1).fit(X, y)
p1 = pd.Series(np.hstack([ridge1.intercept_, ridge1.coef_]))
ridge2 = Ridge(alpha=2).fit(X, y)
p2 = pd.Series(np.hstack([ridge2.intercept_, ridge2.coef_]))
pd.DataFrame([p0, p1, p2]).T
Out[13]:
In [14]:
lasso0 = Lasso(alpha=0.0001).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([lasso0.intercept_, lasso0.coef_]))
lasso1 = Lasso(alpha=0.1).fit(X, y)
p1 = pd.Series(np.hstack([lasso1.intercept_, lasso1.coef_]))
lasso2 = Lasso(alpha=10).fit(X, y)
p2 = pd.Series(np.hstack([lasso2.intercept_, lasso2.coef_]))
pd.DataFrame([p0, p1, p2]).T
Out[14]:
Lasso 와 ElasticNet 클래스는 하이퍼 모수 alpha 값의 변화에 따른 계수의 변화를 자동으로 계산하는 path 메서드를 제공한다.
lasso_path(), enet_path() 명령어도 path 메서드와 동일한 기능을 수행한다.
In [15]:
lasso = Lasso()
alphas, coefs, _ = lasso.path(X, y, alphas=np.logspace(-6, 1, 8))
df = pd.DataFrame(coefs, columns=alphas)
df
Out[15]:
In [16]:
df.T.plot(logx=True)
plt.show()